Curso de Matemáticas - Vectores

INTRODUCCIÓN A LOS VECTORES

Conceptos, Operaciones y Aplicaciones

Material didáctico para una clase introductoria de dos horas

Índice de Contenido

• 1. Introducción a los Vectores
• 2. Representación y Notación
• 3. Operaciones Básicas
  • 3.1. Suma de Vectores
  • 3.2. Resta de Vectores
  • 3.3. Multiplicación por Escalar
• 4. Producto Punto (Escalar)
• 5. Producto Cruz (Vectorial)
• 6. Ejemplos Resueltos
• 7. Ejercicios Propuestos
• 8. Soluciones a los Ejercicios

1. Introducción a los Vectores

Un vector es una cantidad que posee tanto magnitud (tamaño) como dirección. A diferencia de un escalar, que solo posee magnitud, los vectores son fundamentales para describir fenómenos físicos como velocidad, aceleración, fuerza y muchos otros.

Los vectores se utilizan en diversas áreas de las matemáticas, física, ingeniería, informática y ciencias en general. Permiten modelar y resolver problemas que involucran cantidades direccionales.

Aplicaciones de los Vectores:

• Física: para representar fuerzas, velocidades, aceleraciones, momentos
• Geometría: para definir posiciones, desplazamientos, transformaciones
• Gráficos por computadora: para renderizar objetos 3D, calcular iluminación
• Electromagnetismo: para representar campos electromagnéticos
• Aeronáutica: para calcular fuerzas de sustentación, resistencia y empuje
• Mecánica de fluidos: para representar campos de flujo y fuerzas

2. Representación y Notación

Un vector se puede representar de varias maneras:

Representación Geométrica:

Gráficamente, un vector se representa como una flecha (segmento de recta dirigido) que indica la dirección y cuya longitud representa la magnitud.

Notación Matemática:

Los vectores se denotan generalmente con letras en negrita o con una flecha encima:

v o v o →v

Componentes de un Vector:

En un espacio bidimensional (2D), un vector se puede expresar como un par ordenado de componentes:

v = (v_x, v_y)

En un espacio tridimensional (3D):

v = (v_x, v_y, v_z)

Magnitud de un Vector:

La magnitud o módulo de un vector representa su longitud y se denota como |v| o ‖v‖.

Para un vector bidimensional:

|v| = √(v_x² + v_y²)

Para un vector tridimensional:

|v| = √(v_x² + v_y² + v_z²)

Vector Unitario:

Un vector unitario tiene magnitud 1. Se puede obtener normalizando cualquier vector no nulo:

û = u/|u|

Vectores Base:

Los vectores base estándar en coordenadas cartesianas son:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Cualquier vector se puede expresar como una combinación lineal de estos vectores base:

v = v_xi + v_yj + v_zk

3. Operaciones Básicas con Vectores

3.1 Suma de Vectores

La suma de dos vectores u y v produce un nuevo vector w = u + v. Geométricamente, se representa mediante la regla del paralelogramo o la regla del triángulo.

Algebraicamente, se suman las componentes correspondientes:

Si u = (u_x, u_y, u_z) y v = (v_x, v_y, v_z), entonces:

u + v = (u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z)

Propiedades de la Suma de Vectores:

• Conmutativa: u + v = v + u
• Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w)
• Elemento neutro: u + 0 = u, donde 0 es el vector nulo
• Inverso aditivo: u + (−u) = 0

3.2 Resta de Vectores

La resta de vectores u - v es equivalente a sumar u con el negativo de v:

u - v = u + (-v)

Algebraicamente:

u - v = (u_x - v_x, u_y - v_y, u_z - v_z)

Geométricamente, el vector u - v representa la flecha que va desde la punta de v hasta la punta de u cuando ambos vectores tienen el mismo punto inicial.

3.3 Multiplicación por un Escalar

La multiplicación de un vector v por un escalar k produce un nuevo vector en la misma dirección (o dirección opuesta si k < 0) con magnitud |k| veces la magnitud original.

Algebraicamente:

kv = (k·v_x, k·v_y, k·v_z)

Propiedades de la Multiplicación por Escalar:

• Asociativa: k(mv) = (km)v
• Distributiva respecto a la suma de escalares: (k + m)v = kv + mv
• Distributiva respecto a la suma de vectores: k(u + v) = ku + kv
• Elemento neutro: 1v = v

4. Producto Punto (Escalar)

El producto punto (o producto escalar) entre dos vectores u y v es una operación que resulta en un escalar (número real). Se denota como u·v o <u,v>.

Definición:

u·v = |u|·|v|·cos(θ)

Donde θ es el ángulo entre los dos vectores cuando se colocan con el mismo punto inicial.

Cálculo Algebraico:

Para vectores en forma de componentes:

En 2D: u·v = u_xv_x + u_yv_y

En 3D: u·v = u_xv_x + u_yv_y + u_zv_z

Propiedades del Producto Punto:

• Conmutativo: u·v = v·u
• Distributivo respecto a la suma: u·(v + w) = u·v + u·w
• Asociativo respecto a escalares: (ku)·v = k(u·v) = u·(kv)
• Producto punto con sí mismo: v·v = |v|²
• Producto punto de vectores ortogonales: Si u ⊥ v, entonces u·v = 0

Interpretaciones y Aplicaciones:

• Proyección: La proyección escalar de u sobre v es p = (u·v)/|v|
• Vector proyección: proj_vu = ((u·v)/|v|²)v
• Ángulo entre vectores: cos(θ) = (u·v)/(|u|·|v|)
• Trabajo en Física: W = F·d (fuerza por desplazamiento)
• Comprobación de perpendicularidad: Dos vectores son perpendiculares si su producto punto es cero

5. Producto Cruz (Vectorial)

El producto cruz (o producto vectorial) entre dos vectores u y v es una operación que resulta en un nuevo vector w perpendicular a ambos. Se denota como u × v.

Definición:

El producto cruz de dos vectores u y v es un vector w tal que:

|u × v| = |u|·|v|·sen(θ)

Donde θ es el ángulo entre u y v cuando se colocan con el mismo punto inicial.

La dirección de u × v se determina por la regla de la mano derecha: si los dedos de la mano derecha rotan del primer vector hacia el segundo por el camino más corto, el pulgar extendido indica la dirección del producto cruz.

Cálculo Algebraico:

Para vectores en 3D:

Si u = (u_x, u_y, u_z) y v = (v_x, v_y, v_z), entonces:

u × v = (u_yv_z - u_zv_y, u_zv_x - u_xv_z, u_xv_y - u_yv_x)

También se puede calcular usando el determinante:

u × v = |
i   j   k
u_x u_y u_z
v_x v_y v_z
|

Propiedades del Producto Cruz:

• Anticonmutativo: u × v = -(v × u)
• Distributivo respecto a la suma: u × (v + w) = (u × v) + (u × w)
• Asociativo respecto a escalares: (ku) × v = k(u × v) = u × (kv)
• Producto cruz con vectores paralelos: Si u ∥ v, entonces u × v = 0
• No es asociativo: (u × v) × w ≠ u × (v × w)

Interpretaciones y Aplicaciones:

• Área del paralelogramo: El área del paralelogramo definido por u y v es |u × v|
• Momento de torsión: τ = r × F (posición × fuerza)
• Momento angular: L = r × p (posición × momento lineal)
• Campo magnético: F = q(v × B) (fuerza sobre una carga en movimiento)
• Rotaciones en 3D: Para determinar ejes de rotación
• Comprobación de coplanaridad: Tres vectores a, b, c son coplanares si (a × b) · c = 0

6. Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Suma y Resta de Vectores

Dados los vectores u = (3, -2, 4) y v = (-1, 5, 2), calcular:

a) u + v

b) u - v

Solución:

a) u + v = (3, -2, 4) + (-1, 5, 2) = (3 + (-1), -2 + 5, 4 + 2) = (2, 3, 6)

b) u - v = (3, -2, 4) - (-1, 5, 2) = (3 - (-1), -2 - 5, 4 - 2) = (4, -7, 2)

Ejemplo 2: Multiplicación por Escalar

Dado el vector v = (2, -4, 1), calcular:

a) 3v

b) -0.5v

Solución:

a) 3v = 3 · (2, -4, 1) = (3 · 2, 3 · (-4), 3 · 1) = (6, -12, 3)

b) -0.5v = -0.5 · (2, -4, 1) = (-0.5 · 2, -0.5 · (-4), -0.5 · 1) = (-1, 2, -0.5)

Ejemplo 3: Magnitud de un Vector

Calcular la magnitud del vector v = (3, 4, 0) y del vector u = (-1, 2, 2).

Solución:

|v| = √(3² + 4² + 0²) = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5

|u| = √((-1)² + 2² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3

Ejemplo 4: Producto Punto

Dados los vectores a = (2, 3, -1) y b = (4, -2, 5), calcular a·b.

Solución:

a·b = (2)(4) + (3)(-2) + (-1)(5)

a·b = 8 - 6 - 5 = -3

Ejemplo 5: Ángulo entre Vectores

Encontrar el ángulo entre los vectores u = (1, 1, 0) y v = (0, 1, 1).

Solución:

Primero calculamos el producto punto:

u·v = (1)(0) + (1)(1) + (0)(1) = 0 + 1 + 0 = 1

Luego calculamos las magnitudes:

|u| = √(1² + 1² + 0²) = √2

|v| = √(0² + 1² + 1²) = √2

Ahora aplicamos la fórmula para el ángulo:

cos(θ) = (u·v)/(|u|·|v|) = 1/(√2 · √2) = 1/2

θ = cos⁻¹(1/2) = 60°

Ejemplo 6: Producto Cruz

Calcular el producto cruz a × b para los vectores a = (2, 0, 3) y b = (1, 4, -2).

Solución:

a × b = (a_yb_z - a_zb_y, a_zb_x - a_xb_z, a_xb_y - a_yb_x)

a × b = ((0)(-2) - (3)(4), (3)(1) - (2)(-2), (2)(4) - (0)(1))

a × b = (0 - 12, 3 + 4, 8 - 0)

a × b = (-12, 7, 8)

Ejemplo 7: Vector Unitario

Encontrar el vector unitario en la dirección de v = (3, 0, -4).

Solución:

Primero calculamos la magnitud de v:

|v| = √(3² + 0² + (-4)²) = √(9 + 0 + 16) = √25 = 5

El vector unitario es:

v̂ = v/|v| = (3, 0, -4)/5 = (3/5, 0, -4/5)

Ejemplo 8: Proyección de un Vector sobre Otro

Calcular la proyección del vector a = (2, 3, 1) sobre el vector b = (4, 0, 3).

Solución:

La proyección escalar de a sobre b es:

proy_ba = (a·b)/|b|

Calculamos el producto punto:

a·b = (2)(4) + (3)(0) + (1)(3) = 8 + 0 + 3 = 11

Calculamos la magnitud de b:

|b| = √(4² + 0² + 3²) = √(16 + 0 + 9) = √25 = 5

La proyección escalar es:

proy_ba = 11/5 = 2.2

El vector proyección es:

proy_ba = ((a·b)/|b|²)b = (11/25)(4, 0, 3) = (11·4/25, 0, 11·3/25) = (44/25, 0, 33/25) = (1.76, 0, 1.32)

Ejemplo 9: Área de un Paralelogramo

Calcular el área del paralelogramo cuyos lados adyacentes están representados por los vectores a = (1, 2, 3) y b = (4, 5, 6).

Solución:

El área de un paralelogramo es igual a la magnitud del producto cruz de los vectores que definen sus lados adyacentes.

Calculamos a × b:

a × b = ((2)(6) - (3)(5), (3)(4) - (1)(6), (1)(5) - (2)(4))

a × b = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8)

a × b = (-3, 6, -3)

La magnitud del producto cruz es:

|a × b| = √((-3)² + 6² + (-3)²) = √(9 + 36 + 9) = √54 = 3√6

Por lo tanto, el área del paralelogramo es 3√6 unidades cuadradas.

Ejemplo 10: Verificación de Perpendicularidad

Verificar si los vectores a = (1, -2, 3) y b = (3, 6, 4) son perpendiculares.

Solución:

Dos vectores son perpendiculares si su producto punto es igual a cero.

Calculamos a·b:

a·b = (1)(3) + (-2)(6) + (3)(4)

a·b = 3 - 12 + 12 = 3

Como a·b = 3 ≠ 0, los vectores a y b no son perpendiculares.

7. Ejercicios Propuestos

A continuación se presentan 20 ejercicios para practicar los conceptos estudiados:

1. Dados los vectores a = (3, -1, 2) y b = (4, 2, -3), calcular a + b y a - b.
2. Encontrar la magnitud del vector v = (-2, 5, 4).
3. Calcular 2a - 3b si a = (1, 0, -1) y b = (2, -2, 4).
4. Determinar el vector unitario en la dirección de v = (4, -3, 0).
5. Dados los vectores u = (1, 2, 3) y v = (4, 5, 6), calcular u·v.
6. Calcular el ángulo entre los vectores a = (1, 1, 1) y b = (1, 0, -1).
7. Determinar si los vectores p = (2, -1, 3) y q = (-4, 2, -6) son paralelos.
8. Encontrar un vector perpendicular a v = (2, 1, -3).
9. Calcular el producto cruz a × b para a = (2, 0, -1) y b = (3, 4, 2).
10. Encontrar el área del triángulo con vértices en los puntos A(1, 2, 3), B(4, 5, 6) y C(7, 0, 1).
11. Determinar la proyección del vector a = (5, -2, 3) sobre el vector b = (1, 1, 1).
12. Calcular el volumen del paralelepípedo definido por los vectores a = (1, 2, 1), b = (2, 0, -1) y c = (3, 1, 2).
13. Determinar si los vectores a = (1, -1, 2), b = (3, 0, 1) y c = (2, 2, 5) son coplanares.
14. Dados los puntos A(2, 1, 0), B(-1, 2, 3) y C(0, -1, 4), encontrar un vector perpendicular al plano que contiene estos tres puntos.
15. Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto P(1, 2, 3) y es perpendicular al vector n = (2, -1, 4).
16. Calcular la distancia del punto P(2, 3, 1) al plano 2x - y + 3z = 4.
17. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, -1, 2) y es paralela al vector v = (3, 0, -2).
18. Dados los vectores a = (3, 2, -1) y b = (-1, 4, 2), encontrar un vector c perpendicular a ambos.
19. Descomponer el vector v = (2, 3, 4) como suma de un vector paralelo y otro perpendicular a u = (1, 0, 1).
20. Calcular el trabajo realizado por una fuerza F = (2, 3, -1) N cuando un objeto se desplaza desde el punto A(0, 0, 0) hasta el punto B(4, 2, 5) metros.

8. Soluciones a los Ejercicios

Ejercicio 1

Dados los vectores a = (3, -1, 2) y b = (4, 2, -3), calcular a + b y a - b.

a + b = (3, -1, 2) + (4, 2, -3) = (3+4, -1+2, 2+(-3)) = (7, 1, -1)

a - b = (3, -1, 2) - (4, 2, -3) = (3-4, -1-2, 2-(-3)) = (-1, -3, 5)

Ejercicio 2

Encontrar la magnitud del vector v = (-2, 5, 4).

|v| = √((-2)² + 5² + 4²) = √(4 + 25 + 16) = √45 = 3√5

Ejercicio 3

Calcular 2a - 3b si a = (1, 0, -1) y b = (2, -2, 4).

2a = 2(1, 0, -1) = (2, 0, -2)

3b = 3(2, -2, 4) = (6, -6, 12)

2a - 3b = (2, 0, -2) - (6, -6, 12) = (2-6, 0-(-6), -2-12) = (-4, 6, -14)

Ejercicio 4

Determinar el vector unitario en la dirección de v = (4, -3, 0).

|v| = √(4² + (-3)² + 0²) = √(16 + 9 + 0) = √25 = 5

v̂ = v/|v| = (4, -3, 0)/5 = (4/5, -3/5, 0)

Ejercicio 5

Dados los vectores u = (1, 2, 3) y v = (4, 5, 6), calcular u·v.

u·v = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 4 + 10 + 18 = 32

Ejercicio 6

Calcular el ángulo entre los vectores a = (1, 1, 1) y b = (1, 0, -1).

a·b = (1)(1) + (1)(0) + (1)(-1) = 1 + 0 - 1 = 0

|a| = √(1² + 1² + 1²) = √3

|b| = √(1² + 0² + (-1)²) = √2

cos(θ) = (a·b)/(|a|·|b|) = 0/(√3·√2) = 0

θ = cos⁻¹(0) = 90°

Los vectores son perpendiculares.

Ejercicio 7

Determinar si los vectores p = (2, -1, 3) y q = (-4, 2, -6) son paralelos.

Los vectores son paralelos si uno es múltiplo escalar del otro. Comprobamos:

q = -2p = -2(2, -1, 3) = (-4, 2, -6)

Como q = -2p, los vectores son paralelos (específicamente, apuntan en direcciones opuestas).

Ejercicio 8

Encontrar un vector perpendicular a v = (2, 1, -3).

Hay infinitos vectores perpendiculares a un vector dado. Una forma de encontrar uno es intercambiar dos componentes y cambiar el signo de una de ellas:

Un vector perpendicular podría ser w = (1, 3, 2), ya que:

v·w = (2)(1) + (1)(3) + (-3)(2) = 2 + 3 - 6 = -1

Como v·w ≠ 0, este vector no es perpendicular.

Probamos con w = (1, 6, 2):

v·w = (2)(1) + (1)(6) + (-3)(2) = 2 + 6 - 6 = 2

Otra opción es w = (3, 0, 2):

v·w = (2)(3) + (1)(0) + (-3)(2) = 6 + 0 - 6 = 0

Por tanto, w = (3, 0, 2) es perpendicular a v.

Ejercicio 9

Calcular el producto cruz a × b para a = (2, 0, -1) y b = (3, 4, 2).

a × b = (a_yb_z - a_zb_y, a_zb_x - a_xb_z, a_xb_y - a_yb_x)

a × b = ((0)(2) - (-1)(4), (-1)(3) - (2)(2), (2)(4) - (0)(3))

a × b = (0 - (-4), -3 - 4, 8 - 0)

a × b = (4, -7, 8)

Ejercicio 10

Encontrar el área del triángulo con vértices en los puntos A(1, 2, 3), B(4, 5, 6) y C(7, 0, 1).

Primero calculamos los vectores que representan los lados del triángulo:

AB = B - A = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)

AC = C - A = (7-1, 0-2, 1-3) = (6, -2, -2)

El área del triángulo es la mitad de la magnitud del producto cruz:

Área = |AB × AC|/2

AB × AC = ((3)(-2) - (3)(-2), (3)(6) - (3)(6), (3)(-2) - (3)(6))

AB × AC = (-6 - (-6), 18 - 18, -6 - 18)

AB × AC = (0, 0, -24)

|AB × AC| = √(0² + 0² + (-24)²) = 24

Área = 24/2 = 12 unidades cuadradas

Ejercicio 11

Determinar la proyección del vector a = (5, -2, 3) sobre el vector b = (1, 1, 1).

a·b = (5)(1) + (-2)(1) + (3)(1) = 5 - 2 + 3 = 6

|b| = √(1² + 1² + 1²) = √3

La proyección escalar es:

proy_ba = (a·b)/|b| = 6/√3 = 6/√3 · √3/√3 = 6√3/3 = 2√3

El vector proyección es:

proy_ba = ((a·b)/|b|²)b = (6/3)(1, 1, 1) = 2(1, 1, 1) = (2, 2, 2)

Ejercicio 12

Calcular el volumen del paralelepípedo definido por los vectores a = (1, 2, 1), b = (2, 0, -1) y c = (3, 1, 2).

El volumen del paralelepípedo se calcula mediante el triple producto escalar: V = |a·(b×c)|

Primero calculamos b×c:

b×c = ((0)(2) - (-1)(1), (-1)(3) - (2)(2), (2)(1) - (0)(3))

b×c = (0 - (-1), -3 - 4, 2 - 0)

b×c = (1, -7, 2)

Ahora calculamos a·(b×c):

a·(b×c) = (1)(1) + (2)(-7) + (1)(2) = 1 - 14 + 2 = -11

Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo es:

V = |-11| = 11 unidades cúbicas

Ejercicio 13

Determinar si los vectores a = (1, -1, 2), b = (3, 0, 1) y c = (2, 2, 5) son coplanares.

Tres vectores son coplanares si el triple producto escalar es cero: (a×b)·c = 0

Calculamos a×b:

a×b = ((-1)(1) - (2)(0), (2)(3) - (1)(1), (1)(0) - (-1)(3))

a×b = (-1 - 0, 6 - 1, 0 - (-3))

a×b = (-1, 5, 3)

Ahora calculamos (a×b)·c:

(a×b)·c = (-1)(2) + (5)(2) + (3)(5) = -2 + 10 + 15 = 23

Como (a×b)·c ≠ 0, los vectores no son coplanares.

Ejercicio 14

Dados los puntos A(2, 1, 0), B(-1, 2, 3) y C(0, -1, 4), encontrar un vector perpendicular al plano que contiene estos tres puntos.

Calculamos dos vectores en el plano:

AB = B - A = (-1-2, 2-1, 3-0) = (-3, 1, 3)

AC = C - A = (0-2, -1-1, 4-0) = (-2, -2, 4)

Un vector perpendicular al plano es el producto cruz de estos dos vectores:

n = AB × AC

n = ((1)(4) - (3)(-2), (3)(-2) - (-3)(4), (-3)(-2) - (1)(-2))

n = (4 - (-6), -6 - (-12), 6 - 2)

n = (10, 6, 4)

El vector (10, 6, 4) es perpendicular al plano que contiene los tres puntos.

Ejercicio 15

Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto P(1, 2, 3) y es perpendicular al vector n = (2, -1, 4).

La ecuación del plano en forma general es:

ax + by + cz + d = 0

Donde (a, b, c) son las componentes del vector normal n, por lo que a = 2, b = -1, c = 4.

Sustituimos las coordenadas del punto P(1, 2, 3) para encontrar d:

2(1) + (-1)(2) + 4(3) + d = 0

2 - 2 + 12 + d = 0

12 + d = 0

d = -12

Por lo tanto, la ecuación del plano es:

2x - y + 4z - 12 = 0

Ejercicio 16

Calcular la distancia del punto P(2, 3, 1) al plano 2x - y + 3z = 4.

La fórmula para la distancia de un punto a un plano ax + by + cz + d = 0 es:

d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)

Primero convertimos la ecuación del plano a la forma estándar:

2x - y + 3z = 4

2x - y + 3z - 4 = 0

Por lo que a = 2, b = -1, c = 3 y d = -4.

Calculamos la distancia:

d = |2(2) + (-1)(3) + 3(1) + (-4)| / √(2² + (-1)² + 3²)

d = |4 - 3 + 3 - 4| / √(4 + 1 + 9)

d = |0| / √14

d = 0

La distancia es 0, lo que significa que el punto P se encuentra en el plano.

Ejercicio 17

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, -1, 2) y es paralela al vector v = (3, 0, -2).

La ecuación paramétrica de una recta que pasa por el punto P₀(x₀, y₀, z₀) y es paralela al vector v = (a, b, c) es:

r(t) = (x₀, y₀, z₀) + t(a, b, c)

Sustituyendo los valores:

r(t) = (1, -1, 2) + t(3, 0, -2)

En forma de ecuaciones paramétricas:

x = 1 + 3t

y = -1 + 0t = -1

z = 2 - 2t

También se puede expresar en forma simétrica:

(x - 1)/3 = y + 1/0 = (z - 2)/(-2)

Como no podemos dividir por 0, la forma correcta es:

(x - 1)/3 = (z - 2)/(-2)

y = -1

Ejercicio 18

Dados los vectores a = (3, 2, -1) y b = (-1, 4, 2), encontrar un vector c perpendicular a ambos.

Un vector perpendicular a dos vectores dados es el producto cruz de estos vectores:

c = a × b

c = ((2)(2) - (-1)(4), (-1)(-1) - (3)(2), (3)(4) - (2)(-1))

c = (4 - (-4), 1 - 6, 12 - (-2))

c = (8, -5, 14)

Verificamos que c es perpendicular a a y b:

c·a = (8)(3) + (-5)(2) + (14)(-1) = 24 - 10 - 14 = 0

c·b = (8)(-1) + (-5)(4) + (14)(2) = -8 - 20 + 28 = 0

Por lo tanto, c = (8, -5, 14) es perpendicular tanto a a como a b.

Ejercicio 19

Descomponer el vector v = (2, 3, 4) como suma de un vector paralelo y otro perpendicular a u = (1, 0, 1).

La componente paralela a u se calcula como la proyección de v sobre u:

v∥ = ((v·u)/|u|²)u

v·u = (2)(1) + (3)(0) + (4)(1) = 2 + 0 + 4 = 6

|u|² = 1² + 0² + 1² = 2

v∥ = (6/2)(1, 0, 1) = 3(1, 0, 1) = (3, 0, 3)

La componente perpendicular se obtiene restando:

v⊥ = v - v∥ = (2, 3, 4) - (3, 0, 3) = (-1, 3, 1)

Verificamos que v⊥ es perpendicular a u:

v⊥·u = (-1)(1) + (3)(0) + (1)(1) = -1 + 0 + 1 = 0

Por lo tanto, v = v∥ + v⊥ = (3, 0, 3) + (-1, 3, 1)

Ejercicio 20

Calcular el trabajo realizado por una fuerza F = (2, 3, -1) N cuando un objeto se desplaza desde el punto A(0, 0, 0) hasta el punto B(4, 2, 5) metros.

El trabajo realizado por una fuerza constante se calcula como el producto punto de la fuerza y el desplazamiento:

W = F·d

El vector desplazamiento es:

d = B - A = (4-0, 2-0, 5-0) = (4, 2, 5)

Calculamos el trabajo:

W = F·d = (2)(4) + (3)(2) + (-1)(5)

W = 8 + 6 - 5 = 9 julios

El trabajo realizado por la fuerza es de 9 julios.

Material didáctico preparado para clase introductoria sobre vectores