Cálculo Diferencial: Nivel Introductorio
Introducción al Cálculo Diferencial
El Cálculo Diferencial es una rama de las matemáticas que estudia cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. Es una herramienta fundamental para describir y modelar fenómenos del mundo real que involucran cambio y movimiento.
En esta clase de dos horas, exploraremos los conceptos fundamentales del cálculo diferencial, incluyendo límites, derivadas, reglas de derivación (con énfasis en la regla de la cadena), y algunas aplicaciones prácticas.
1. Límites y Continuidad
Antes de abordar el concepto de derivada, es necesario comprender la noción de límite, que es la base del cálculo diferencial.
1.1 Concepto de Límite
Decimos que una función \(f(x)\) tiene un límite \(L\) cuando \(x\) se acerca a \(a\), si podemos hacer que \(f(x)\) esté tan cerca de \(L\) como queramos, tomando \(x\) suficientemente cerca de \(a\) (pero no necesariamente igual a \(a\)).
Notación: \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)
Ejemplo 1: Cálculo de límites básicos
Calcular: \(\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1)\)
Solución:
Sustituyendo \(x = 2\) en la expresión:
\(\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1) = 3(2)^2 - 5(2) + 1 = 3(4) - 10 + 1 = 12 - 10 + 1 = 3\)
Ejemplo 2: Límite de una función racional
Calcular: \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}\)
Solución:
Notamos que si sustituimos directamente \(x = 3\), obtenemos la forma indeterminada \(\frac{0}{0}\).
Factorizamos el numerador:
\(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x+3)(x-3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 3+3 = 6\)
1.2 Continuidad
Una función \(f(x)\) es continua en un punto \(x = a\) si se cumplen tres condiciones:
- \(f(a)\) está definida
- \(\lim_{x \to a} f(x)\) existe
- \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)
Significado Geométrico de la Continuidad
Una función es continua en un intervalo si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Las discontinuidades se manifiestan como "saltos" o "huecos" en la gráfica.
2. La Derivada
2.1 Definición de Derivada
La derivada de una función \(f(x)\) en un punto \(x = a\) se define como:
\(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\)
O equivalentemente:
\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)
Significado Geométrico de la Derivada
La derivada \(f'(a)\) representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de \(f(x)\) en el punto \((a, f(a))\).
Ejemplo 3: Cálculo de una derivada usando la definición
Calcular la derivada de \(f(x) = x^2\) usando la definición de derivada.
Solución:
Aplicamos la definición:
\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)
\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}\)
\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}\)
\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}\)
\(f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h)\)
\(f'(x) = 2x\)
2.2 Notación de la Derivada
Si \(y = f(x)\), entonces la derivada puede denotarse de varias formas:
- \(f'(x)\) (notación de Lagrange)
- \(\frac{dy}{dx}\) o \(\frac{d}{dx}f(x)\) (notación de Leibniz)
- \(y'\) (notación de Newton)
- \(Df(x)\) o \(D_x f\) (notación de operador)
3. Reglas Básicas de Derivación
A continuación se presentan las reglas fundamentales para calcular derivadas sin tener que recurrir a la definición.
3.1 Reglas Elementales
| Función | Derivada |
|---|---|
| \(f(x) = c\) (constante) | \(f'(x) = 0\) |
| \(f(x) = x^n\) | \(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\) |
| \(f(x) = e^x\) | \(f'(x) = e^x\) |
| \(f(x) = \ln(x)\) | \(f'(x) = \frac{1}{x}\) |
| \(f(x) = \sin(x)\) | \(f'(x) = \cos(x)\) |
| \(f(x) = \cos(x)\) | \(f'(x) = -\sin(x)\) |
3.2 Propiedades de Linealidad
Si \(f(x)\) y \(g(x)\) son funciones derivables, y \(c\) es una constante:
- Suma: \(\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)\)
- Producto por escalar: \(\frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)\)
Ejemplo 4: Derivada de un polinomio
Calcular la derivada de \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7\)
Solución:
Aplicamos las reglas de derivación término a término:
\(f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4) - \frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(5x) - \frac{d}{dx}(7)\)
\(f'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 2 \cdot 2x^1 + 5 \cdot 1x^0 - 0\)
\(f'(x) = 12x^3 - 4x + 5\)
3.3 Regla del Producto
Si \(f(x)\) y \(g(x)\) son funciones derivables:
\(\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)
Ejemplo 5: Regla del producto
Calcular la derivada de \(f(x) = x^2 \cdot \sin(x)\)
Solución:
Aplicamos la regla del producto con \(u(x) = x^2\) y \(v(x) = \sin(x)\):
\(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\)
\(f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)\)
3.4 Regla del Cociente
Si \(f(x)\) y \(g(x)\) son funciones derivables con \(g(x) \neq 0\):
\(\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\)
Ejemplo 6: Regla del cociente
Calcular la derivada de \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{\sin(x)}\)
Solución:
Aplicamos la regla del cociente con \(u(x) = x^2 + 1\) y \(v(x) = \sin(x)\):
\(f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\)
\(f'(x) = \frac{2x \cdot \sin(x) - (x^2 + 1) \cdot \cos(x)}{[\sin(x)]^2}\)
\(f'(x) = \frac{2x\sin(x) - (x^2 + 1)\cos(x)}{\sin^2(x)}\)
4. Regla de la Cadena
4.1 Definición de la Regla de la Cadena
La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de una función compuesta. Si \(h(x) = f(g(x))\), donde \(f\) y \(g\) son funciones derivables, entonces:
\(h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
En notación de Leibniz:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
donde \(y = f(u)\) y \(u = g(x)\).
Significado Geométrico de la Regla de la Cadena
La regla de la cadena refleja cómo se componen los cambios en una cadena de funciones. Si \(y = f(u)\) y \(u = g(x)\), la tasa de cambio de \(y\) respecto a \(x\) es el producto de la tasa de cambio de \(y\) respecto a \(u\) y la tasa de cambio de \(u\) respecto a \(x\).
Ejemplo 7: Aplicación básica de la regla de la cadena
Calcular la derivada de \(f(x) = \sin(x^2)\)
Solución:
Identificamos que \(f(x) = \sin(u)\) donde \(u = x^2\).
Aplicando la regla de la cadena:
\(f'(x) = \frac{d}{du}[\sin(u)] \cdot \frac{d}{dx}[x^2]\)
\(f'(x) = \cos(u) \cdot 2x\)
\(f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)\)
Ejemplo 8: Regla de la cadena con múltiples funciones
Calcular la derivada de \(f(x) = e^{\sin(3x+1)}\)
Solución:
Identificamos las funciones anidadas:
\(f(x) = e^u\) donde \(u = \sin(v)\) y \(v = 3x+1\)
Aplicando la regla de la cadena:
\(f'(x) = \frac{d}{du}[e^u] \cdot \frac{d}{dv}[\sin(v)] \cdot \frac{d}{dx}[3x+1]\)
\(f'(x) = e^u \cdot \cos(v) \cdot 3\)
\(f'(x) = e^{\sin(3x+1)} \cdot \cos(3x+1) \cdot 3 = 3e^{\sin(3x+1)}\cos(3x+1)\)
4.2 Derivación Implícita
La derivación implícita es una técnica basada en la regla de la cadena que permite encontrar la derivada de funciones definidas implícitamente, es decir, cuando la variable dependiente no está despejada.
Ejemplo 9: Derivación implícita
Dada la ecuación \(x^2 + y^2 = 25\), hallar \(\frac{dy}{dx}\) usando derivación implícita.
Solución:
Derivamos ambos lados de la ecuación respecto a \(x\):
\(\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(25)\)
\(2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0\)
Despejamos \(\frac{dy}{dx}\):
\(2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x\)
\(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\)
5. Aplicaciones de la Derivada
5.1 Recta Tangente y Normal
Una de las aplicaciones más directas de la derivada es encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto dado.
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f(x)\) en el punto \((a,f(a))\) es:
\(y - f(a) = f'(a)(x - a)\)
Aplicación: Cálculo de la recta tangente
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) en el punto donde \(x = 2\).
Solución:
Primero, calculamos \(f(2)\):
\(f(2) = 2^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4\)
Ahora, calculamos \(f'(x)\):
\(f'(x) = 3x^2 - 3\)
Evaluamos \(f'(2)\):
\(f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9\)
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es:
\(y - 4 = 9(x - 2)\)
\(y - 4 = 9x - 18\)
\(y = 9x - 14\)
5.2 Crecimiento y Decrecimiento
La derivada nos indica cuándo una función crece o decrece:
- Si \(f'(x) > 0\) en un intervalo, entonces \(f\) es creciente en ese intervalo.
- Si \(f'(x) < 0\) en un intervalo, entonces \(f\) es decreciente en ese intervalo.
5.3 Máximos y Mínimos
Los puntos críticos de una función son aquellos donde \(f'(x) = 0\) o \(f'(x)\) no existe. Estos puntos son candidatos a ser máximos o mínimos locales.
- Si \(f'(x)\) pasa de positiva a negativa en un punto crítico \(x = a\), entonces \(f\) tiene un máximo local en \(a\).
- Si \(f'(x)\) pasa de negativa a positiva en un punto crítico \(x = a\), entonces \(f\) tiene un mínimo local en \(a\).
Ejemplo 10: Hallar máximos y mínimos
Encontrar los valores máximos y mínimos de \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\) en el intervalo \([-3, 4]\).
Solución:
Primero, calculamos \(f'(x)\):
\(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\)
Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos:
\(3x^2 - 6x - 9 = 0\)
\(3(x^2 - 2x - 3) = 0\)
\(x^2 - 2x - 3 = 0\)
Usando la fórmula cuadrática: \(x = \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}\)
Obtenemos \(x = 3\) o \(x = -1\)
Verificamos los extremos del intervalo \(x = -3\) y \(x = 4\) y calculamos \(f\) en todos estos puntos:
\(f(-3) = (-3)^3 - 3(-3)^2 - 9(-3) + 5 = -27 - 3(9) + 27 + 5 = -27 - 27 + 27 + 5 = -22\)
\(f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3(1) + 9 + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10\)
\(f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 5 = 27 - 3(9) - 27 + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22\)
\(f(4) = (4)^3 - 3(4)^2 - 9(4) + 5 = 64 - 3(16) - 36 + 5 = 64 - 48 - 36 + 5 = -15\)
Por lo tanto, el valor máximo es 10 en \(x = -1\) y el valor mínimo es -22 en \(x = -3\) y \(x = 3\).
5.4 Problemas de Optimización
La derivada es una herramienta poderosa para resolver problemas de optimización, donde se busca maximizar o minimizar una cantidad sujeta a ciertas restricciones.
Aplicación: Problema de optimización
Un granjero quiere construir un corral rectangular que bordee un río. No necesita cercar el lado del río. Si dispone de 100 metros de cerca, ¿cuáles son las dimensiones del corral que maximizan el área?
Solución:
Sea \(x\) la longitud del lado perpendicular al río e \(y\) la longitud del lado paralelo al río.
La restricción de la cerca es: \(2x + y = 100\), entonces \(y = 100 - 2x\)
El área del corral es: \(A = xy = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2\)
Para maximizar el área, derivamos e igualamos a cero:
\(A'(x) = 100 - 4x = 0\)
\(x = 25\) metros
Por tanto, \(y = 100 - 2(25) = 50\) metros
Las dimensiones óptimas son: 25 metros de ancho (perpendicular al río) y 50 metros de largo (paralelo al río). El área máxima es \(25 \cdot 50 = 1250\) metros cuadrados.
6. Ejercicios Propuestos
Los siguientes ejercicios cubren los diferentes temas tratados en clase. Resuelva todos los ejercicios y compruebe sus respuestas con las soluciones detalladas que se proporcionan al final.
Parte 1: Límites y Continuidad
- Calcular \(\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}\)
- Calcular \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\)
- Calcular \(\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}\)
- Determinar si la función \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\) es continua en \(x = 1\). Si no lo es, clasificar la discontinuidad.
- Calcular \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-2x+1}{2x^2+5x-3}\)
Parte 2: Derivación Directa
- Calcular la derivada de \(f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 7\)
- Calcular la derivada de \(g(x) = \frac{2x}{x^2+1}\)
- Calcular la derivada de \(h(x) = x^2 e^x\)
- Calcular la derivada de \(k(x) = \ln(x^2 + 1)\)
- Calcular la derivada de \(m(x) = \sin^2(x)\)
Parte 3: Regla de la Cadena
- Derivar \(f(x) = \sin(3x^2 + 2x)\)
- Derivar \(g(x) = e^{\cos(x)}\)
- Derivar \(h(x) = \ln(\sqrt{x^2+1})\)
- Derivar \(k(x) = (2x^3-1)^4\)
- Derivar \(m(x) = \tan(x^2+3x+2)\)
Parte 4: Aplicaciones
- Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva \(y = x^3 - 3x + 2\) en el punto donde \(x = 1\).
- Hallar la ecuación de la recta normal a la curva \(y = \sin(x)\) en el punto donde \(x = \frac{\pi}{4}\).
- Determinar los intervalos donde la función \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) es creciente y donde es decreciente.
- Hallar los máximos y mínimos locales de la función \(g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 7\).
- Hallar el valor máximo de la función \(h(x) = 3x - x^2\) en el intervalo \([0, 4]\).
Parte 5: Problemas de Optimización
- Se desea construir una caja cerrada con base cuadrada cuyo volumen sea de 8 metros cúbicos. Determine las dimensiones que minimizan la cantidad de material utilizado.
- Una lata cilíndrica debe tener un volumen de 1 litro. ¿Qué dimensiones (radio y altura) minimizan la cantidad de material utilizado para fabricarla?
- Un granjero tiene 1200 metros de cerca para hacer un corral rectangular y dividirlo en dos partes iguales con una cerca central paralela a uno de los lados. ¿Cuáles son las dimensiones del corral que maximizan el área total?
- Encuentre los puntos de la parábola \(y = x^2\) que están más cercanos al punto \((0, 1)\).
- Una empresa determina que el costo de producir \(x\) unidades de cierto artículo está dado por \(C(x) = 0.5x^2 + 6x + 10\), y el precio de venta por unidad es \(p(x) = 30 - 0.1x\). ¿Cuántas unidades debe producir para maximizar las ganancias?
Parte 6: Derivación Implícita y Temas Adicionales
- Dada la ecuación \(x^2y + xy^2 = 6\), hallar \(\frac{dy}{dx}\) usando derivación implícita.
- Calcular la segunda derivada de \(f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 2\).
- Dada la función \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-3}\), encontrar el valor de \(\lim_{x \to 3} f(x)\) si existe.
- Determinar dónde la función \(g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 3\) tiene puntos de inflexión.
- Si \(f(x) = \int_1^{x^2} \frac{1}{t} dt\), calcular \(f'(x)\).
7. Soluciones a los Ejercicios
Parte 1: Límites y Continuidad
Solución 1
\(\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}\)
Factorizamos el numerador: \(x^2 - 16 = (x+4)(x-4)\)
\(\lim_{x \to 4} \frac{(x+4)(x-4)}{x - 4} = \lim_{x \to 4} (x+4) = 4+4 = 8\)
Solución 2
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\)
Usamos la propiedad: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{kx}\)
Sabemos que \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\)
Por lo tanto: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3\)
Solución 3
\(\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}\)
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del numerador:
\(\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2} \cdot \frac{\sqrt{x+2}+2}{\sqrt{x+2}+2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x+2)-4}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}\)
\(\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{1}{\sqrt{2+2}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}\)
Solución 4
Para que \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\) sea continua en \(x = 1\), debe cumplir tres condiciones:
1. \(f(1)\) debe estar definida
2. \(\lim_{x \to 1} f(x)\) debe existir
3. \(\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)\)
Notamos que \(f(1)\) no está definida directamente porque hay una indeterminación 0/0.
Calculemos el límite:
\(\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2\)
Si redefinimos \(f(1) = 2\), la función sería continua en \(x = 1\). De lo contrario, tiene una discontinuidad evitable.
Solución 5
\(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-2x+1}{2x^2+5x-3}\)
Dividimos numerador y denominador por la potencia más alta de \(x\), que es \(x^2\):
\(\lim_{x \to \infty} \frac{3-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{5}{x}-\frac{3}{x^2}} = \frac{3-0+0}{2+0-0} = \frac{3}{2}\)
Parte 2: Derivación Directa
Solución 6
Para \(f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 7\), derivamos término a término:
\(f'(x) = 12x^2 - 6x + 2\)
Solución 7
Para \(g(x) = \frac{2x}{x^2+1}\), aplicamos la regla del cociente:
\(g'(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}\)
Solución 8
Para \(h(x) = x^2 e^x\), utilizamos la regla del producto:
\(h'(x) = x^2 \cdot (e^x)' + (x^2)' \cdot e^x = x^2e^x + 2xe^x = e^x(x^2 + 2x)\)
Solución 9
Para \(k(x) = \ln(x^2 + 1)\), utilizamos la regla de la cadena:
\(k'(x) = \frac{1}{x^2+1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}\)
Solución 10
Para \(m(x) = \sin^2(x) = (\sin(x))^2\), utilizamos la regla de la cadena:
\(m'(x) = 2\sin(x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin(x)) = 2\sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2x)\)
Parte 3: Regla de la Cadena
Solución 11
Para \(f(x) = \sin(3x^2 + 2x)\), aplicamos la regla de la cadena:
\(f'(x) = \cos(3x^2 + 2x) \cdot \frac{d}{dx}(3x^2 + 2x) = \cos(3x^2 + 2x) \cdot (6x + 2) = (6x + 2)\cos(3x^2 + 2x)\)
Solución 12
Para \(g(x) = e^{\cos(x)}\), aplicamos la regla de la cadena:
\(g'(x) = e^{\cos(x)} \cdot \frac{d}{dx}(\cos(x)) = e^{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) = -e^{\cos(x)}\sin(x)\)
Solución 13
Para \(h(x) = \ln(\sqrt{x^2+1}) = \ln((x^2+1)^{1/2}) = \frac{1}{2}\ln(x^2+1)\), derivamos:
\(h'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{x}{x^2+1}\)
Solución 14
Para \(k(x) = (2x^3-1)^4\), aplicamos la regla de la cadena:
\(k'(x) = 4(2x^3-1)^3 \cdot \frac{d}{dx}(2x^3-1) = 4(2x^3-1)^3 \cdot 6x^2 = 24x^2(2x^3-1)^3\)
Solución 15
Para \(m(x) = \tan(x^2+3x+2)\), aplicamos la regla de la cadena:
\(m'(x) = \sec^2(x^2+3x+2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2+3x+2) = \sec^2(x^2+3x+2) \cdot (2x+3)\)
\(m'(x) = (2x+3)\sec^2(x^2+3x+2)\)
Parte 4: Aplicaciones
Solución 16
Para hallar la recta tangente a \(y = x^3 - 3x + 2\) en \(x = 1\):
Primero calculamos \(y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\)
Ahora derivamos: \(y' = 3x^2 - 3\)
Evaluamos \(y'(1) = 3(1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0\)
La ecuación de la recta tangente es: \(y - y(1) = y'(1)(x - 1)\)
\(y - 0 = 0(x - 1)\)
\(y = 0\)
La recta tangente es una recta horizontal que pasa por el punto \((1,0)\).
Solución 17
Para hallar la recta normal a \(y = \sin(x)\) en \(x = \frac{\pi}{4}\):
Calculamos \(y(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
La derivada es \(y' = \cos(x)\)
Evaluamos \(y'(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
La pendiente de la recta normal es el negativo del recíproco de la pendiente de la tangente:
\(m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangente}} = -\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}\)
La ecuación de la recta normal es: \(y - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}(x - \frac{\pi}{4})\)
\(y - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}x + \frac{\pi\sqrt{2}}{4}\)
\(y = -\sqrt{2}x + \frac{\pi\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Solución 18
Para determinar los intervalos donde \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) es creciente o decreciente:
Calculamos la derivada: \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\)
Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: \(3x^2 - 12x + 9 = 0\)
Factorizamos: \(3(x^2 - 4x + 3) = 0\)
\(3(x-3)(x-1) = 0\)
Los puntos críticos son \(x = 1\) y \(x = 3\).
Probemos un punto en cada intervalo para determinar el signo de \(f'(x)\):
Para \(x = 0\): \(f'(0) = 9 > 0\)
Para \(x = 2\): \(f'(2) = 3(4) - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0\)
Para \(x = 4\): \(f'(4) = 3(16) - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0\)
Por lo tanto, \(f\) es creciente en los intervalos \((-\infty, 1)\) y \((3, \infty)\), y decreciente en el intervalo \((1, 3)\).
Solución 19
Para hallar los máximos y mínimos locales de \(g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 7\):
Calculamos \(g'(x) = 3x^2 - 6x - 9\)
Igualamos a cero: \(3x^2 - 6x - 9 = 0\)
Factorizamos: \(3(x^2 - 2x - 3) = 0\)
\(3(x-3)(x+1) = 0\)
Los puntos críticos son \(x = -1\) y \(x = 3\).
Para determinar si son máximos o mínimos, calculamos la segunda derivada: \(g''(x) = 6x - 6\)
\(g''(-1) = 6(-1) - 6 = -12 < 0\) → Máximo local
\(g''(3) = 6(3) - 6 = 12 > 0\) → Mínimo local
Calculamos los valores en estos puntos:
\(g(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 7 = -1 - 3 + 9 + 7 = 12\) (Máximo local)
\(g(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 7 = 27 - 27 - 27 + 7 = -20\) (Mínimo local)
Solución 20
Para hallar el valor máximo de \(h(x) = 3x - x^2\) en el intervalo \([0, 4]\):
Calculamos \(h'(x) = 3 - 2x\)
Igualamos a cero: \(3 - 2x = 0\)
\(x = 1.5\)
Como \(1.5 \in [0, 4]\), evaluamos \(h\) en todos los puntos críticos y extremos del intervalo:
\(h(0) = 3(0) - (0)^2 = 0\)
\(h(1.5) = 3(1.5) - (1.5)^2 = 4.5 - 2.25 = 2.25\)
\(h(4) = 3(4) - (4)^2 = 12 - 16 = -4\)
Por lo tanto, el valor máximo es 2.25, alcanzado cuando \(x = 1.5\).
Parte 5: Problemas de Optimización
Solución 21
Para una caja cerrada con base cuadrada y volumen 8 metros cúbicos:
Sean \(x\) la longitud del lado de la base y \(h\) la altura de la caja.
Volumen: \(V = x^2 \cdot h = 8\)
Despejamos: \(h = \frac{8}{x^2}\)
El área total de la caja es: \(A = x^2 + 4xh\) (base + 4 lados)
Sustituyendo \(h\): \(A = x^2 + 4x \cdot \frac{8}{x^2} = x^2 + \frac{32}{x}\)
Para minimizar, derivamos e igualamos a cero: \(A'(x) = 2x - \frac{32}{x^2} = 0\)
\(2x^3 = 32\)
\(x^3 = 16\)
\(x = \sqrt[3]{16} = 2.52\) metros
Y \(h = \frac{8}{x^2} = \frac{8}{(2.52)^2} \approx 1.26\) metros
Solución 22
Para una lata cilíndrica de volumen 1 litro = 1000 cm³:
Sean \(r\) el radio y \(h\) la altura del cilindro.
Volumen: \(V = \pi r^2 h = 1000\)
Despejamos: \(h = \frac{1000}{\pi r^2}\)
El área total de la lata es: \(A = 2\pi r^2 + 2\pi r h\) (2 círculos + superficie lateral)
Sustituyendo \(h\): \(A = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{1000}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}\)
Para minimizar, derivamos e igualamos a cero: \(A'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0\)
\(4\pi r^3 = 2000\)
\(r^3 = \frac{2000}{4\pi} = \frac{500}{\pi}\)
\(r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5.42\) cm
Y \(h = \frac{1000}{\pi r^2} = \frac{1000}{\pi (5.42)^2} \approx 10.84\) cm
Solución 23
Para un corral rectangular con división central:
Sean \(x\) y \(y\) las dimensiones del corral.
Por la restricción de la cerca: \(2x + 2y + x = 1200\) (dos lados de longitud x, dos lados de longitud y, y una división de longitud x)
\(3x + 2y = 1200\)
Despejamos: \(y = \frac{1200 - 3x}{2}\)
El área es: \(A = x \cdot y = x \cdot \frac{1200 - 3x}{2} = 600x - \frac{3}{2}x^2\)
Para maximizar, derivamos e igualamos a cero: \(A'(x) = 600 - 3x = 0\)
\(x = 200\) metros
\(y = \frac{1200 - 3(200)}{2} = \frac{1200 - 600}{2} = 300\) metros
Las dimensiones óptimas son 200 metros × 300 metros con una división central paralela al lado de 300 metros.
Solución 24
Para encontrar los puntos de la parábola \(y = x^2\) más cercanos al punto \((0, 1)\):
La distancia entre un punto \((x, x^2)\) de la parábola y el punto \((0, 1)\) es:
\(d = \sqrt{(x-0)^2 + (x^2-1)^2} = \sqrt{x^2 + (x^2-1)^2}\)
Para minimizar la distancia, podemos minimizar su cuadrado (es más sencillo):
\(f(x) = x^2 + (x^2-1)^2 = x^2 + x^4 - 2x^2 + 1 = x^4 - x^2 + 1\)
\(f'(x) = 4x^3 - 2x\)
\(f'(x) = 2x(2x^2 - 1)\)
Igualamos a cero: \(2x(2x^2 - 1) = 0\)
Obtenemos \(x = 0\) o \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)
Evaluamos la función original en estos puntos:
Para \(x = 0\): \(d^2 = 0^2 + (0^2-1)^2 = 0 + 1 = 1\)
Para \(x = \frac{1}{\sqrt{2}}\): \(d^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + ((\frac{1}{\sqrt{2}})^2-1)^2 = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2}-1)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)
Para \(x = -\frac{1}{\sqrt{2}}\): mismo resultado que para \(x = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
Por lo tanto, los puntos más cercanos son \((\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})\) y \((-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})\).
Solución 25
Para el problema de maximización de ganancias:
Costo: \(C(x) = 0.5x^2 + 6x + 10\)
Precio por unidad: \(p(x) = 30 - 0.1x\)
Ingreso total: \(R(x) = x \cdot p(x) = 30x - 0.1x^2\)
Ganancia: \(G(x) = R(x) - C(x) = 30x - 0.1x^2 - (0.5x^2 + 6x + 10) = 24x - 0.6x^2 - 10\)
Para maximizar, derivamos e igualamos a cero: \(G'(x) = 24 - 1.2x = 0\)
\(x = 20\) unidades
Verificamos que \(G''(x) = -1.2 < 0\), confirmando que es un máximo.
Parte 6: Derivación Implícita y Temas Adicionales
Solución 26
Para \(x^2y + xy^2 = 6\), derivamos implícitamente respecto a \(x\):
\(2xy + x^2\frac{dy}{dx} + y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0\)
Agrupamos términos con \(\frac{dy}{dx}\): \(x^2\frac{dy}{dx} + 2xy\frac{dy}{dx} = -2xy - y^2\)
\(\frac{dy}{dx}(x^2 + 2xy) = -2xy - y^2\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy - y^2}{x^2 + 2xy} = -\frac{2xy + y^2}{x^2 + 2xy} = -\frac{y(2x + y)}{x(x + 2y)}\)
Solución 27
Para \(f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 2\):
Primera derivada: \(f'(x) = 3x^2 - 10x + 7\)
Segunda derivada: \(f''(x) = 6x - 10\)
Solución 28
Para \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-3}\), evaluamos el límite cuando \(x \to 3\):
Si sustituimos directamente, obtenemos la forma indeterminada \(\frac{9-1}{0} = \frac{8}{0}\), que es una indeterminación.
Factorizamos el numerador: \(x^2-1 = (x+1)(x-1)\)
\(f(x) = \frac{(x+1)(x-1)}{x-3}\)
Este no se puede simplificar directamente. Usamos L'Hôpital o el desarrollo algebraico:
\(\lim_{x \to 3} \frac{x^2-1}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{2x}{1} = 6\)
O alternativamente, podemos hacer la división larga:
\(\frac{x^2-1}{x-3} = x + 3 + \frac{8}{x-3}\)
Así, \(\lim_{x \to 3} f(x) = \infty\) (no existe el límite finito)
Solución 29
Para \(g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 3\), los puntos de inflexión ocurren donde \(g''(x) = 0\):
Primera derivada: \(g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x\)
Segunda derivada: \(g''(x) = 12x^2 - 24x + 8\)
Igualamos a cero: \(12x^2 - 24x + 8 = 0\)
\(3x^2 - 6x + 2 = 0\)
Usando la fórmula cuadrática: \(x = \frac{6 \pm \sqrt{36-24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{12}}{6}\)
\(x_1 = 1 + \frac{\sqrt{12}}{6} \approx 1.58\)
\(x_2 = 1 - \frac{\sqrt{12}}{6} \approx 0.42\)
Para confirmar que son puntos de inflexión, verificamos que \(g''(x)\) cambia de signo en estos puntos.
Solución 30
Para \(f(x) = \int_1^{x^2} \frac{1}{t} dt\), aplicamos el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena:
Sabemos que \(\frac{d}{dx}\int_a^x \frac{1}{t} dt = \frac{1}{x}\)
Por la regla de la cadena: \(f'(x) = \frac{1}{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x}\)
Conclusiones
En esta clase hemos cubierto los fundamentos del cálculo diferencial, comenzando con el concepto de límite, continuando con la definición formal de la derivada y su significado geométrico, y estudiando las principales reglas de derivación, con especial énfasis en la regla de la cadena.
También hemos explorado algunas aplicaciones importantes del cálculo diferencial, como el cálculo de rectas tangentes, el análisis del crecimiento y decrecimiento de funciones, la determinación de máximos y mínimos, y la resolución de problemas de optimización.
Recuerda que la práctica es esencial para dominar estos conceptos. Asegúrate de resolver todos los ejercicios propuestos y revisar las soluciones detalladas para consolidar tu aprendizaje.
Bibliografía Recomendada
- Stewart, J. (2016). Cálculo de una Variable: Trascendentes Tempranas. Cengage Learning.
- Larson, R., & Edwards, B. (2018). Cálculo. Cengage Learning.
- Thomas, G. B. (2015). Cálculo una Variable. Pearson.
- Apostol, T. M. (1985). Calculus, Volume I. Wiley.
- Spivak, M. (1980). Cálculo Infinitesimal. Reverté.
