4. Regla de la Cadena
4.1 Definición de la Regla de la Cadena
La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de una función compuesta. Si \(h(x) = f(g(x))\), donde \(f\) y \(g\) son funciones derivables, entonces:
\(h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
En notación de Leibniz:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
donde \(y = f(u)\) y \(u = g(x)\).
Significado Geométrico de la Regla de la Cadena
La regla de la cadena refleja cómo se componen los cambios en una cadena de funciones. Si \(y = f(u)\) y \(u = g(x)\), la tasa de cambio de \(y\) respecto a \(x\) es el producto de la tasa de cambio de \(y\) respecto a \(u\) y la tasa de cambio de \(u\) respecto a \(x\).
Ejemplo 7: Aplicación básica de la regla de la cadena
Calcular la derivada de \(f(x) = \sin(x^2)\)
Solución:
Identificamos que \(f(x) = \sin(u)\) donde \(u = x^2\).
Aplicando la regla de la cadena:
\(f'(x) = \frac{d}{du}[\sin(u)] \cdot \frac{d}{dx}[x^2]\)
\(f'(x) = \cos(u) \cdot 2x\)
\(f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)\)
Ejemplo 8: Regla de la cadena con múltiples funciones
Calcular la derivada de \(f(x) = e^{\sin(3x+1)}\)
Solución:
Identificamos las funciones anidadas:
\(f(x) = e^u\) donde \(u = \sin(v)\) y \(v = 3x+1\)
Aplicando la regla de la cadena:
\(f'(x) = \frac{d}{du}[e^u] \cdot \frac{d}{dv}[\sin(v)] \cdot \frac{d}{dx}[3x+1]\)
\(f'(x) = e^u \cdot \cos(v) \cdot 3\)
\(f'(x) = e^{\sin(3x+1)} \cdot \cos(3x+1) \cdot 3 = 3e^{\sin(3x+1)}\cos(3x+1)\)
4.2 Derivación Implícita
La derivación implícita es una técnica basada en la regla de la cadena que permite encontrar la derivada de funciones definidas implícitamente, es decir, cuando la variable dependiente no está despejada.
Ejemplo 9: Derivación implícita
Dada la ecuación \(x^2 + y^2 = 25\), hallar \(\frac{dy}{dx}\) usando derivación implícita.
Solución:
Derivamos ambos lados de la ecuación respecto a \(x\):
\(\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(25)\)
\(2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0\)
Despejamos \(\frac{dy}{dx}\):
\(2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x\)
\(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\)
5. Aplicaciones de la Derivada
5.1 Recta Tangente y Normal
Una de las aplicaciones más directas de la derivada es encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto dado.
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f(x)\) en el punto \((a,f(a))\) es:
\(y - f(a) = f'(a)(x - a)\)
Aplicación: Cálculo de la recta tangente
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) en el punto donde \(x = 2\).
Solución:
Primero, calculamos \(f(2)\):
\(f(2) = 2^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4\)
Ahora, calculamos \(f'(x)\):
\(f'(x) = 3x^2 - 3\)
Evaluamos \(f'(2)\):
\(f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9\)
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es:
\(y - 4 = 9(x - 2)\)
\(y - 4 = 9x - 18\)
\(y = 9x - 14\)
5.2 Crecimiento y Decrecimiento
La derivada nos indica cuándo una función crece o decrece:
- Si \(f'(x) > 0\) en un intervalo, entonces \(f\) es creciente en ese intervalo.
- Si \(f'(x) < 0\) en un intervalo, entonces \(f\) es decreciente en ese intervalo.
5.3 Máximos y Mínimos
Los puntos críticos de una función son aquellos donde \(f'(x) = 0\) o \(f'(x)\) no existe. Estos puntos son candidatos a ser máximos o mínimos locales.
- Si \(f'(x)\) pasa de positiva a negativa en un punto crítico \(x = a\), entonces \(f\) tiene un máximo local en \(a\).
- Si \(f'(x)\) pasa de negativa a positiva en un punto crítico \(x = a\), entonces \(f\) tiene un mínimo local en \(a\).
Ejemplo 10: Hallar máximos y mínimos
Encontrar los valores máximos y mínimos de \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\) en el intervalo \([-3, 4]\).
Solución:
Primero, calculamos \(f'(x)\):
\(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\)
Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos:
\(3x^2 - 6x - 9 = 0\)
\(3(x^2 - 2x - 3) = 0\)
\(x^2 - 2x - 3 = 0\)
Usando la fórmula cuadrática: \(x = \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}\)
Obtenemos \(x = 3\) o \(x = -1\)
Verificamos los extremos del intervalo \(x = -3\) y \(x = 4\) y calculamos \(f\) en todos estos puntos:
\(f(-3) = (-3)^3 - 3(-3)^2 - 9(-3) + 5 = -27 - 3(9) + 27 + 5 = -27 - 27 + 27 + 5 = -22\)
\(f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3(1) + 9 + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10\)
\(f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 5 = 27 - 3(9) - 27 + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22\)
\(f(4) = (4)^3 - 3(4)^2 - 9(4) + 5 = 64 - 3(16) - 36 + 5 = 64 - 48 - 36 + 5 = -15\)
Por lo tanto, el valor máximo es 10 en \(x = -1\) y el valor mínimo es -22 en \(x = -3\) y \(x = 3\).
5.4 Problemas de Optimización
La derivada es una herramienta poderosa para resolver problemas de optimización, donde se busca maximizar o minimizar una cantidad sujeta a ciertas restricciones.
Aplicación: Problema de optimización
Un granjero quiere construir un corral rectangular que bordee un río. No necesita cercar el lado del río. Si dispone de 100 metros de cerca, ¿cuáles son las dimensiones del corral que maximizan el área?
Solución:
Sea \(x\) la longitud del lado perpendicular al río e \(y\) la longitud del lado paralelo al río.
La restricción de la cerca es: \(2x + y = 100\), entonces \(y = 100 - 2x\)
El área del corral es: \(A = xy = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2\)
Para maximizar el área, derivamos e igualamos a cero:
\(A'(x) = 100 - 4x = 0\)
\(x = 25\) metros
Por tanto, \(y = 100 - 2(25) = 50\) metros
Las dimensiones óptimas son: 25 metros de ancho (perpendicular al río) y 50 metros de largo (paralelo al río). El área máxima es \(25 \cdot 50 = 1250\) metros cuadrados.
7. Soluciones a los Ejercicios
Parte 1: Límites y Continuidad
Solución 1
\(\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}\)
Factorizamos el numerador: \(x^2 - 16 = (x+4)(x-4)\)
\(\lim_{x \to 4} \frac{(x+4)(x-4)}{x - 4} = \lim_{x \to 4} (x+4) = 4+4 = 8\)
Solución 2
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\)
Usamos la propiedad: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{kx}\)
Sabemos que \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\)
Por lo tanto: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3\)
Solución 3
\(\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}\)
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del numerador:
\(\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2} \cdot \frac{\sqrt{x+2}+2}{\sqrt{x+2}+2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x+2)-4}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}\)
\(\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{1}{\sqrt{2+2}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}\)
Solución 4
Para que \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\) sea continua en \(x = 1\), debe cumplir tres condiciones:
1. \(f(1)\) debe estar definida
2. \(\lim_{x \to 1} f(x)\) debe existir
3. \(\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)\)
Notamos que \(f(1)\) no está definida directamente porque hay una indeterminación 0/0.
Calculemos el límite:
\(\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2\)
Si redefinimos \(f(1) = 2\), la función sería continua en \(x = 1\). De lo contrario, tiene una discontinuidad evitable.
Solución 5
\(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-2x+1}{2x^2+5x-3}\)
Dividimos numerador y denominador por la potencia más alta de \(x\), que es \(x^2\):
\(\lim_{x \to \infty} \frac{3-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{5}{x}-\frac{3}{x^2}} = \frac{3-0+0}{2+0-0} = \frac{3}{2}\)
Parte 2: Derivación Directa
Solución 6
Para \(f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 7\), derivamos término a término:
\(f'(x) = 12x^2 - 6x + 2\)
Solución 7
Para \(g(x) = \frac{2x}{x^2+1}\), aplicamos la regla del cociente:
\(g'(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}\)
Solución 8
Para \(h(x) = x^2 e^x\), utilizamos la regla del producto:
\(h'(x) = x^2 \cdot (e^x)' + (x^2)' \cdot e^x = x^2e^x + 2xe^x = e^x(x^2 + 2x)\)
Solución 9
Para \(k(x) = \ln(x^2 + 1)\), utilizamos la regla de la cadena:
\(k'(x) = \frac{1}{x^2+1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}\)
Solución 10
Para \(m(x) = \sin^2(x) = (\sin(x))^2\), utilizamos la regla de la cadena:
\(m'(x) = 2\sin(x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin(x)) = 2\sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2x)\)
Parte 3: Regla de la Cadena
Solución 11
Para \(f(x) = \sin(3x^2 + 2x)\), aplicamos la regla de la cadena:
\(f'(x) = \cos(3x^2 + 2x) \cdot \frac{d}{dx}(3x^2 + 2x) = \cos(3x^2 + 2x) \cdot (6x + 2) = (6x + 2)\cos(3x^2 + 2x)\)
Solución 12
Para \(g(x) = e^{\cos(x)}\), aplicamos la regla de la cadena:
\(g'(x) = e^{\cos(x)} \cdot \frac{d}{dx}(\cos(x)) = e^{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) = -e^{\cos(x)}\sin(x)\)
Solución 13
Para \(h(x) = \ln(\sqrt{x^2+1}) = \ln((x^2+1)^{1/2}) = \frac{1}{2}\ln(x^2+1)\), derivamos:
\(h'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{x}{x^2+1}\)
Solución 14
Para \(k(x) = (2x^3-1)^4\), aplicamos la regla de la cadena:
\(k'(x) = 4(2x^3-1)^3 \cdot \frac{d}{dx}(2x^3-1) = 4(2x^3-1)^3 \cdot 6x^2 = 24x^2(2x^3-1)^3\)
Solución 15
Para \(m(x) = \tan(x^2+3x+2)\), aplicamos la regla de la cadena:
\(m'(x) = \sec^2(x^2+3x+2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2+3x+2) = \sec^2(x^2+3x+2) \cdot (2x+3)\)
\(m'(x) = (2x+3)\sec^2(x^2+3x+2)\)
Parte 4: Aplicaciones
Solución 16
Para hallar la recta tangente a \(y = x^3 - 3x + 2\) en \(x = 1\):
Primero calculamos \(y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\)
Ahora derivamos: \(y' = 3x^2 - 3\)
Evaluamos \(y'(1) = 3(1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0\)
La ecuación de la recta tangente es: \(y - y(1) = y'(1)(x - 1)\)
\(y - 0 = 0(x - 1)\)
\(y = 0\)
La recta tangente es una recta horizontal que pasa por el punto \((1,0)\).
Solución 17
Para hallar la recta normal a \(y = \sin(x)\) en \(x = \frac{\pi}{4}\):
Calculamos \(y(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
La derivada es \(y' = \cos(x)\)
Evaluamos \(y'(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
La pendiente de la recta normal es el negativo del recíproco de la pendiente de la tangente:
\(m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangente}} = -\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}\)
La ecuación de la recta normal es: \(y - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}(x - \frac{\pi}{4})\)
\(y - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}x + \frac{\pi\sqrt{2}}{4}\)
\(y = -\sqrt{2}x + \frac{\pi\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Solución 18
Para determinar los intervalos donde \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) es creciente o decreciente:
Calculamos la derivada: \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\)
Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: \(3x^2 - 12x + 9 = 0\)
Factorizamos: \(3(x^2 - 4x + 3) = 0\)
\(3(x-3)(x-1) = 0\)
Los puntos críticos son \(x = 1\) y \(x = 3\).
Probemos un punto en cada intervalo para determinar el signo de \(f'(x)\):
Para \(x = 0\): \(f'(0) = 9 > 0\)
Para \(x = 2\): \(f'(2) = 3(4) - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0\)
Para \(x = 4\): \(f'(4) = 3(16) - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0\)
Por lo tanto, \(f\) es creciente en los intervalos \((-\infty, 1)\) y \((3, \infty)\), y decreciente en el intervalo \((1, 3)\).
Solución 19
Para hallar los máximos y mínimos locales de \(g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 7\):
Calculamos \(g'(x) = 3x^2 - 6x - 9\)
Igualamos a cero: \(3x^2 - 6x - 9 = 0\)
Factorizamos: \(3(x^2 - 2x - 3) = 0\)
\(3(x-3)(x+1) = 0\)
Los puntos críticos son \(x = -1\) y \(x = 3\).
Para determinar si son máximos o mínimos, calculamos la segunda derivada: \(g''(x) = 6x - 6\)
\(g''(-1) = 6(-1) - 6 = -12 < 0\) → Máximo local
\(g''(3) = 6(3) - 6 = 12 > 0\) → Mínimo local
Calculamos los valores en estos puntos:
\(g(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 7 = -1 - 3 + 9 + 7 = 12\) (Máximo local)
\(g(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 7 = 27 - 27 - 27 + 7 = -20\) (Mínimo local)
Solución 20
Para hallar el valor máximo de \(h(x) = 3x - x^2\) en el intervalo \([0, 4]\):
Calculamos \(h'(x) = 3 - 2x\)
Igualamos a cero: \(3 - 2x = 0\)
\(x = 1.5\)
Como \(1.5 \in [0, 4]\), evaluamos \(h\) en todos los puntos críticos y extremos del intervalo:
\(h(0) = 3(0) - (0)^2 = 0\)
\(h(1.5) = 3(1.5) - (1.5)^2 = 4.5 - 2.25 = 2.25\)
\(h(4) = 3(4) - (4)^2 = 12 - 16 = -4\)
Por lo tanto, el valor máximo es 2.25, alcanzado cuando \(x = 1.5\).
Parte 5: Problemas de Optimización
Solución 21
Para una caja cerrada con base cuadrada y volumen 8 metros cúbicos:
Sean \(x\) la longitud del lado de la base y \(h\) la altura de la caja.
Volumen: \(V = x^2 \cdot h = 8\)
Despejamos: \(h = \frac{8}{x^2}\)
El área total de la caja es: \(A = x^2 + 4xh\) (base + 4 lados)
Sustituyendo \(h\): \(A = x^2 + 4x \cdot \frac{8}{x^2} = x^2 + \frac{32}{x}\)
Para minimizar, derivamos e igualamos a cero: \(A'(x) = 2x - \frac{32}{x^2} = 0\)
\(2x^3 = 32\)
\(x^3 = 16\)
\(x = \sqrt[3]{16} = 2.52\) metros
Y \(h = \frac{8}{x^2} = \frac{8}{(2.52)^2} \approx 1.26\) metros
Solución 22
Para una lata cilíndrica de volumen 1 litro = 1000 cm³:
Sean \(r\) el radio y \(h\) la altura del cilindro.
Volumen: \(V = \pi r^2 h = 1000\)
Despejamos: \(h = \frac{1000}{\pi r^2}\)
El área total de la lata es: \(A = 2\pi r^2 + 2\pi r h\) (2 círculos + superficie lateral)
Sustituyendo \(h\): \(A = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{1000}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}\)
Para minimizar, derivamos e igualamos a cero: \(A'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0\)
\(4\pi r^3 = 2000\)
\(r^3 = \frac{2000}{4\pi} = \frac{500}{\pi}\)
\(r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5.42\) cm
Y \(h = \frac{1000}{\pi r^2} = \frac{1000}{\pi (5.42)^2} \approx 10.84\) cm
Solución 23
Para un corral rectangular con división central:
Sean \(x\) y \(y\) las dimensiones del corral.
Por la restricción de la cerca: \(2x + 2y + x = 1200\) (dos lados de longitud x, dos lados de longitud y, y una división de longitud x)
\(3x + 2y = 1200\)
Despejamos: \(y = \frac{1200 - 3x}{2}\)
El área es: \(A = x \cdot y = x \cdot \frac{1200 - 3x}{2} = 600x - \frac{3}{2}x^2\)
Para maximizar, derivamos e igualamos a cero: \(A'(x) = 600 - 3x = 0\)
\(x = 200\) metros
\(y = \frac{1200 - 3(200)}{2} = \frac{1200 - 600}{2} = 300\) metros
Las dimensiones óptimas son 200 metros × 300 metros con una división central paralela al lado de 300 metros.
Solución 24
Para encontrar los puntos de la parábola \(y = x^2\) más cercanos al punto \((0, 1)\):
La distancia entre un punto \((x, x^2)\) de la parábola y el punto \((0, 1)\) es:
\(d = \sqrt{(x-0)^2 + (x^2-1)^2} = \sqrt{x^2 + (x^2-1)^2}\)
Para minimizar la distancia, podemos minimizar su cuadrado (es más sencillo):
\(f(x) = x^2 + (x^2-1)^2 = x^2 + x^4 - 2x^2 + 1 = x^4 - x^2 + 1\)
\(f'(x) = 4x^3 - 2x\)
\(f'(x) = 2x(2x^2 - 1)\)
Igualamos a cero: \(2x(2x^2 - 1) = 0\)
Obtenemos \(x = 0\) o \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)
Evaluamos la función original en estos puntos:
Para \(x = 0\): \(d^2 = 0^2 + (0^2-1)^2 = 0 + 1 = 1\)
Para \(x = \frac{1}{\sqrt{2}}\): \(d^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + ((\frac{1}{\sqrt{2}})^2-1)^2 = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2}-1)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)
Para \(x = -\frac{1}{\sqrt{2}}\): mismo resultado que para \(x = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
Por lo tanto, los puntos más cercanos son \((\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})\) y \((-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})\).
Solución 25
Para el problema de maximización de ganancias:
Costo: \(C(x) = 0.5x^2 + 6x + 10\)
Precio por unidad: \(p(x) = 30 - 0.1x\)
Ingreso total: \(R(x) = x \cdot p(x) = 30x - 0.1x^2\)
Ganancia: \(G(x) = R(x) - C(x) = 30x - 0.1x^2 - (0.5x^2 + 6x + 10) = 24x - 0.6x^2 - 10\)
Para maximizar, derivamos e igualamos a cero: \(G'(x) = 24 - 1.2x = 0\)
\(x = 20\) unidades
Verificamos que \(G''(x) = -1.2 < 0\), confirmando que es un máximo.
Parte 6: Derivación Implícita y Temas Adicionales
Solución 26
Para \(x^2y + xy^2 = 6\), derivamos implícitamente respecto a \(x\):
\(2xy + x^2\frac{dy}{dx} + y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0\)
Agrupamos términos con \(\frac{dy}{dx}\): \(x^2\frac{dy}{dx} + 2xy\frac{dy}{dx} = -2xy - y^2\)
\(\frac{dy}{dx}(x^2 + 2xy) = -2xy - y^2\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy - y^2}{x^2 + 2xy} = -\frac{2xy + y^2}{x^2 + 2xy} = -\frac{y(2x + y)}{x(x + 2y)}\)
Solución 27
Para \(f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 2\):
Primera derivada: \(f'(x) = 3x^2 - 10x + 7\)
Segunda derivada: \(f''(x) = 6x - 10\)
Solución 28
Para \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-3}\), evaluamos el límite cuando \(x \to 3\):
Si sustituimos directamente, obtenemos la forma indeterminada \(\frac{9-1}{0} = \frac{8}{0}\), que es una indeterminación.
Factorizamos el numerador: \(x^2-1 = (x+1)(x-1)\)
\(f(x) = \frac{(x+1)(x-1)}{x-3}\)
Este no se puede simplificar directamente. Usamos L'Hôpital o el desarrollo algebraico:
\(\lim_{x \to 3} \frac{x^2-1}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{2x}{1} = 6\)
O alternativamente, podemos hacer la división larga:
\(\frac{x^2-1}{x-3} = x + 3 + \frac{8}{x-3}\)
Así, \(\lim_{x \to 3} f(x) = \infty\) (no existe el límite finito)
Solución 29
Para \(g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 3\), los puntos de inflexión ocurren donde \(g''(x) = 0\):
Primera derivada: \(g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x\)
Segunda derivada: \(g''(x) = 12x^2 - 24x + 8\)
Igualamos a cero: \(12x^2 - 24x + 8 = 0\)
\(3x^2 - 6x + 2 = 0\)
Usando la fórmula cuadrática: \(x = \frac{6 \pm \sqrt{36-24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{12}}{6}\)
\(x_1 = 1 + \frac{\sqrt{12}}{6} \approx 1.58\)
\(x_2 = 1 - \frac{\sqrt{12}}{6} \approx 0.42\)
Para confirmar que son puntos de inflexión, verificamos que \(g''(x)\) cambia de signo en estos puntos.
Solución 30
Para \(f(x) = \int_1^{x^2} \frac{1}{t} dt\), aplicamos el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena:
Sabemos que \(\frac{d}{dx}\int_a^x \frac{1}{t} dt = \frac{1}{x}\)
Por la regla de la cadena: \(f'(x) = \frac{1}{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x}\)
